수학의 본질

수학은 다른 과학들과 다르게 우리가 다섯 개의 감각 기관을 통해서 알 수 있는 물리적 대상을 직접적으로 취급하지는 않는다. 오히려 수학의 대상이 되는 것은 물리적 대상이 아닌 우리의 마음에 존재하는 ㄱ모든 관념적 대상이다. 따라서 수학을 이해하기 위해서는 두 가지 세계 즉 물리적 새계완 관념적 세계의 내면적 상호작용을 이해하는 것이 필요하다

물리적 세계는 직접적 또는 간접적인 방법으로 관찰될 수 있는 물리적 대상의 세계를 말하며 관념적 세계를 이를 테면 평면이나 점과 같은 수학적 실체가 존재하는 세계를 뜻한다. 즉 평면이다 점은 평평한 종이나 연필로 뾰족한 끔과 같은 물리적 대상을 이상화한 것이다.

바슬러 코프는 이 두 세계의 상화 작용을 다음과 같은 활동에서 볼 수 있다고 주장한다.

-물리적 세계에서 발생한느 상황이나 문제들은 거기에서 관찰될 수 있는 중요한 물리적 대상과 이 대상들 간의 관계를 확인하기 위하여 조사된다.

-물리적 상황에서의 요소들 사이의 특징과 관계는 관념적 세계에서 이상화된다. 그것은  때로는 물리적 상황이 수학화 된다고 말해지기도 하며 때로는 물리적 상황에서의 관계가 수학적 언어인 명제로 추상화된다고 말해지기도 한다.

-수학적 명제들은 수학적 기술에 의하여 타당성이 조사되고 또 새로운 명제가 탐구되기도 한다. 이때 수학의 하나 또는 그 이상의 과목의 내용과 방법이 새로운 관계의 명제를 유도하기 이하여 적용되기도 하며 이 명제의 타당성은 논리적 증명의 수단을 통하여 입증된다.

수학적 용어와 명제 전체를 물리적 문제에 대한 수학적 모델이라고 부른다.

-수학적 모델에서의 수학적 실체와 명제는 물리적 세계에서 특수한 대상과 관계로 다시 해석되고 물리적 문제의 해답에 적용된다.

-수학적 모델로부터 유도된 해답과 예측은 물리적 상황에서 이들이 어긋나는지를 결정하기 위하여 또 물리적 상황에서 효용이 되는지를 확인하기 위하여 시험된다.

 

물리적 세계에서의 상황 또는 문제는 이상화와 추상화의 과정을 통하여 관념적 세계에서 수학적 모델로 구성된다. 이때 유의할 것은 추상화 과정은 우너래의 물리적 사황을 왜곡할 수도 있으면 수학적 모델은 수학적 관점에서는 예술적 일지 몰라도 물리적 상항의 특성을 충실하게 반영하지 못할 수가 있다. 다시 말하면 수학은 모든 물리적 성질을 추상화하는 것이 아니라 특수한 성질만을 추상화하게 된다. 예를 들어 색깔, 맛, 물체의 상태와 같은 질적인 성질의 추상화가 아닌 크기, 순서, 모양과 같은 양적인 성질만을 추상화하게 된다.

같은 방법으로 수학적 모델이 물리적 세계로 선택되고 변형될 때 재해석된 수학적 모델이 물리적 상황에 적합하지 못한 경우가 있다. 이럴 때 그 물리적 문제에서 관찰된 사실들과 일치하는 해답과 예측을 산출하는 또 다른 수학적 모델이 발견되지 않으면 안 된다.

우리는 지금까지 물리적 세계와 간년적 세계의 상호작용을 통하여 수학을 이해하기 위한 시도를 해왔다. 이 상화 작용의 관찰을 통하여 우리는 학교 수학으로서의 수학의 본질과 수학적 활동을 정리할 수 있다.

 

가. 수학은 수학적 모델이라 불리는 모순 없는 명제들의 모임이다.

수학은 지식 동체로 수학적 모델이라 불리는 모순 없는 명제들의 모임이며 수학적 모델을 구성하기 위한 수학적 활동은 물리적 상황이나 문제의 특수한 성질을 이상화하고 추상화하는 행동으로 구성된다

수학적 모델은 수학의 주요한 네 가지 과목인 산술, 대수, 기하, 해석으로 나뉘어 구성된다.

산술은 수 체계에서의 특수한 성질, 관계 연산을 연구하는 분야이고 대수는 수 체계의 한 분야인 수학 내에서의 성질, 관계, 연산, 구조에 대한 일반화를 연구하는 분야이다.

기하학은 공간에서 곡선과 곡면의 수학적 성질에 대한 연구와 평면도형, 입체도형의 계량적, 비계량적 성질을 연구하는 분야이다.

해석학은 자연 상태에서의 연속적인 과정과 수직선에서의 연속성을 응용하는 것 등을 연구하는 분야이다.

그러나 이들 수학의 과목들은 내면적으로 서로 관련된 상태에서 상호의존적으로 독립적으로 분리되어 연구되지 않는다. 따라서 수학은 수학적 모델들을 잘 조직한 지식이라 말할 수 있다.

 

나. 수학은 하나의 언어이다.

수학은 물리적 상황이나 문제를 이상화하고 추상화하는 과정에서 관념을 나타내기 위하여 세밀하게 선택된 용어와 기호를 수학적 언어로 사용함으로써 ㅂㄹ필요한 수식을 하지 않는다. 수학적 언어는 앞에서도 말한 것처럼 양을 나타내는 언어, 다시 말하며 크기나 순서를 나타내는 언어와 논리적 탐구를 위한 언어이다.

 

다. 수학은 양식과 관계의 연구이다

수학은 앞에서 설명한 것처럼 물리적 세계에서의 특수한 대상과 관계를 탐구 대상으로 하여 추상화한 수학적 모델을 구성한다. 예를 들어 일찍이 인간은 자연이 차례와 양식에 의하여 순서 지어진 것을 주목하였다. 자연에는 계절, 낮과 밥, 달의 주기, 조수의 변화 등 일정한 양식이 있고 자고 깨는 양식에 의한 생활의 리듬이 있으며 어른이든 아디든 자신의 생활이 리듬이 깨지면 심하게 당황하게 된다. 이와 같은 물리적 세계의 변화를 알아차린 인간들은 자연과 매일매일의 생활에서 양식을 기록하고 싶은 욕구 때문에 일찍부터 수학적 모델의 하나인 명수 체계를 고안하였다.

 

라. 수학은 사고의 방법이다.

수학은 물리적으로 존재하지 않는 관념들을 대상으로 취급한다. 물리적 세계로부터 이상화되고 추상화된 수학적 관념은 인간이 경험할 수 있는 물리적 상황에 국한된다. 그러나 수학적 관념은 인간이 물리적으로 경험할 수 없는 무한적인 차원에서도 가능하게 된다. 따라서 수학은 실험이 아닌 엄격한 논리적 추론에 이한 수학적 사고를 요구하게 된다.

추론의 주요한 구 가지 형태는 귀납적 추론과 연역적 추론으로 나눌 수 있다. 이때 귀납적 추론을 부분에서 전체로 특수한 것에서 일반적인 것으로 또는 개별적인 것에서 보편적인 것으로의 추론으로 정의한다.

귀납적 추론은 일반적으로 다음과 같은 단계를 거친다.

정보의 관찰, 수집, 기록-> 수집된 자료의 분석-> 결론의 추출-> 응용과 일반화 시도

물리적 대상들 간의 간를 수학화하기 위한 활동은 주어진 대상들로부터 정보를 관찰하고 수집하고 분석하는 활동에서부터 시작된다. 여기에서 기존의 지식과 과거의 경험에 바탕을 두고 잠정적인 결론을 내리게 된다. 이 잠정적인 결론은 수학적 또는 논리적 연역을 통한 증명을 시도하게 함으로써 귀납적 추론의 범위를 넘어서게 되며 이 결론의 증명될 수 있을 때 그것이 다른 체계에 적합한지를 알아보기 위한 일반화를 시도하게 되는 것이다.

연역적 추론은 주어진 조건으로부터 필연적으로 어떤 결론이 수반되는 것을 증명하기 위하여 형식 돈리를 바탕으로 엄격한 규범들을 사용하는 것을 뜻한다. 귀납적 사고에 의하여 얻어진 결론은 연역적 추론으로 증명된다.

수학에서 하나의 수학적 체게는 무정의 용어, 정의, 공리와 이들을 출발점으로 하여 연역적 추론으로 증명되는 정리로 구성된다. ㅁ무정의 용어, 정의 동리들은 수학적 체계의 구조를 결정한다. 만약 수학적 체계 내에서 하나의 공리를 수정하거나 삭제한다면 그 체계는 바뀔 수 있다.

 

 

-미래엔 확률과 통계 참고-