많은 학자가 다양한 수학 학습이론을 제시하였는데 여기서는 피아제의 지적 발달이론을 근거로 한 브루너와 딘즈의 학습이론을 소개한다.
가. 브루너의 수학 학습이론
브루너는 많은 실험을 통하여 수학을 학습하는 4가지의 일반적인 이론을 제시하였다. 여기서는 그 이론을 간략하게 살펴보도록 한다.
1) 구성 이론
구성 이론이란 학생들이 수학적 규칙, 개념 또는 원리를 학습하는 가장 좋은 방법은 이들의 표현방법을 구성해야 한다는 것이다. 학생들은 수학적 아이디어를 교사가 제시하는 표현방법을 분석함으로써 획득할 수 있다.
브루너는 초등학교 아동들은 수학적 아이디어에 대한 자기 자신의 표현방법을 구성해야 한다고 믿고 있다. 그는 또한 구체적인 표현 방식을 갖고 학습을 시작하는 것이 더 좋을 것으로 생각하고 있다. 만일 아동들에게 수학적 규칙을 형성하는데 도움을 주는 어떤 활동이 허용된다면 아동들은 ㅈ 더 그 규칙을 기억하려 하고 규칙들을 적절한 상황에 올바르게 적용할 것이다. 브루너는 아동들에게 완성된 규칙을 부여하는 것은 동기 유발을 감퇴시키는 경향이 있으며 또한 학생들이 혼란을 일으키는 원인이 된다고 설명하고 있다.
2) 기법 이론
기법 이론이란 조기의 구성과 표현방식이 아동들의 정신적 발달 수준에 적절한 기법을 포함하고 있다면 이를 아동들이 쉽게 이해한다는 것이다. 효과적인 기법 조직이 수학적 원리를 창조하고 확장시키는 것을 가능하게 한다. 학생들은 수학적 아이디어에 대한 표현방식을 선택하거나 창조하는데 자기 나름의 의견을 갖고 있어야 하고 단순한 기법들은 어린 아동들에게만 사용되어야 한다.
예를 들어 초등학교 5학년까지는
5+2*네모=9
와 같이 미지수를 네모 또는 동그라미, 세모 등을 사용하여 표현하면 학생들은 위의 식에서 네모에 알맞은 숫자가 2라는 것을 쉽게 발견할 것이다.
기법 조직을 세련되게 하는 학교 수학을 통한 일련의 접근은 수학의 교수학습과정의 나선형 접근에서 구체화되고 있다. 나선형 교수학습모형에서 각각의 수학적 아이디어는 처음에는 직관적으로 도입되었다가 점차 구체적으로 제시된다. 해를 거듭할수록 학생은 지적으로 성숙하게 되어서 같은 개념이라도 이제까지 사용하던 표기와는 다른 높은 수준의 추상성과 상징적인 기호 조직을 사용하게 된다.
기법에 대한 단계를 도표로 나타내면 다음과 같다.
대화 형식-> 직관-> 구체적 표현-> 기호 사용-> 기호 변환
여기서 볼 수 있는 것처럼 언어에 기초한 대화형 식이 중요하다. 이것은 학습자의 심리적 발달단계를 고려하여 기법 조직을 발전시켜야 수학적 아이디어나 개념의 표기 사용이 쉬워진다는 것을 시사하고 있다.
3) 대조와 변화 이론
대조와 변화 이론이란 수학적 개념의 구체적인 표기 방식으로부터 좀 더 추상적인 표기 방식으로 괴는 과정은 상이하게 대조되는 개념과 각 개념에 대한 변화된 예를 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 기하학에서 호, 반지름, 지름, 현의 개념들은 대조 성질에 따라서 정의되고 있다. 예를 들어 합성수는 1도 아니고 소수도 아닌 수로 정의된다. 무리수는 유리수가 아닌 수로 정의되어있다. 또 허수는 실수가 아닌 수로 정의되고 있다. 이러한 대조는 학생들이 새로운 수학적 화제에 대한 직관적인 이해를 확립하도록 도와주는 가장 유용한 방법 중의 하나라 할 수 있다. 개념을 대조시키는 것은 학생들이 여러 가지 개념의 표현방법을 구체적인 것에서 추상적인 것으로 진전시키는데 도움을 주고 잇다.
학생들이 수학에서 일반적인 개념을 배우고자 한다면 각각의 새로운 개념은 다양한 예에 의하여 설명되어야 한다. 그렇지 않다면 그 개념을 그 특수한 표현방법과 관련하여 부분적으로만 학습되는 것이다. 수학을 가르치는 데 있어서 각 개념에 대한 많은 변형된 예를 제기하여 일반적으로 추상적인 아이디어는 여러 가지 많은 구체적인 예를 포함하고 잇따는 것을 학생들이 알 수 있게 하야야 한다.
4) 연계 이론
연계 이론이란 수학에 대한 각각의 기능, 개념, 원리는 다른 기능, 개념, 원리에 연계되어 있다는 것이다. 수학을 가르치는 데 있어서 교사는 학생들이 수학 구조에서 대조와 변화를 알도록 도와주는 것 분만 아니라 학생들이 여러 가지 수학적 아이디어 간의 연계성을 알게 할 필요가 있다.
일대일 대응이나 동치류 같은 연계가 설명되면 수학의 구조는 단순화되고 학습은 쉬워진다. 사실 대부분의 수학교육과정은 산술, 대수, 기하, 해석 사이의 연계를 시도하고 있다. 독립적으로 수학적 개념이 존재하는 경우는 거의 없기 때문에 학생들이 점진적이고 의미 있는 학습을 수행하려면 개념들 사이의 연계성이 이해되어야 한다.
이 네 가지 이론은 교수학습과정에서 연대순으로, 연속적을 단계를 거친다는 것을 의미하지 않는다. 수학적 화제를 가르칠 때 어떤 때는 동시에 여러 개의 이론을 적용하는 것이 적절한 경우도 있고 어떤 때는 고려되어야 할 수학적 화제와 수학적 개념을 학습하는 학생에 따라서 위의 이론들을 여러 가지 다른 순서로 적용하는 경우도 있다.
나. 딘즈의 수학 학습이론
딘즈는 피아제의 학습 심리학에 부분적으로 기초를 두고 수학을 흥미 있게 공부하는 방법에 대하여 연구하였다. 그는 구조를 분류하기, 구조 내에서의 관계성을 식별하기, 구조들 사이에서 관계성을 범주화하기와 같이 수학을 구조를 연구하는 학문으로 생각하였다.
딘즈는 수학적 개념은 아동들에게 구체적이고 물리적인 표현의 다양성을 통하여 제시될 때 적절히 이해된다고 믿고 있다. 그는 수학적 구조를 의미하는 것으로 개념이란 단어를 사용하고 있는데 이는 가네가 정의한 개념보다 더 일반적이라 할 수 있다.
딘즈에 따르면 개념에는 세 가지 종류가 있는데 그것은 다음과 같은 순수한 수학적 개념, 표기적 개념, 적용적 개념이다.
1) 순수한 수학적 개념
이는 수를 분류하는 것과 수 사이에서의 관계성을 말하는 것으로 수가 제시되는 방법과는 무관하다. 예를 들어 8, 로마 숫자 8, 이진 법수 14, 100등은 모두 짝수의 개념에 대한 예이다. 그러나 이 기호들은 어떤 특별한 짝수를 나타내는 것에든 각기 다른 방법을 취하고 있다.
2) 표기적 개념
이는 수가 제시된 직접적인 결과에 대한 수의 성질을 말한다. 예를 들어 275는 십진법으로 나타내어지는 수 조작에서는
2*100+7*10+5*1
을 나타내는 것이고 또 팔진법으로 나타내어지는 수 조작에서는
2*8^2+7*8+5*1
을 나타내는 것이다.
역사를 거슬러 살펴보면 수를 표현하는 데 좋은 표기적 조직이 만들어지기 이전에는 산술의 발전 속도가 매우 더디었다.
3)적 용적 개념
이는 수하적 문제 해결과 다른 분야에서의 문제 해결에서 순수한 수학적 개념과 표기적 개념의 적용을 말한다. 깊이, 넓이, 부피 등은 물리적인 문제 해결에서 수를 적용하는 방법을 제공해야 하기 때문에 적용적 개념이 된다. 순수한 수학적 개념은 표기적 개념과 적용적 개념을 배우기 이전에 학습되어야 한다. 그렇지 않으면 학생들은 단지 기호를 조직하는 형태만을 기억하게 되는 것이다.
예를 들어 학생들이
루트(9+16)=3+4, (5+2)/2=5, 3(4+2)=12+2=14
와 같은 실수를 범하게 되는데 이는 순수한 수학적 개념과 표지적 개념을 잘못 이해해서 적용된 소치이다.
딘즈는 개면 학습을 가네의 학습단계에서 자극 반응 이론에 의해 적적히 설명될 수 없는 창조적인 기술로 간주하고 있다. 그는 모든 추상성은 직관과 구체적인 경험에 기초하고 있다고 믿고 있다. 결론적으로 딘즈의 수학 학습은 조작, 게임 등과 같은 수학 실험실에 기초하고 있다.
딘즈는 학생들이 수학을 학습하기 위해서는 다음과 같은 사항을 다룰 능력이 있어야 한다고 생각하고 있다.
-수학적 구조와 그 구조간의 관계성을 분석할 수 있어야 한다.
-여러 가지 상이한 구조 또는 상황으로부터 공통된 성질을 추상화할 수 있고 구조 또는 상황이 속한 것에 따라 분류할 수 있어야 한다.
-협의적으로 정의된 유에서 발견되는 비슷한 성질을 갖는 좀 더 넓은 유를 만듦으로써 이미 배운 수학적 구조를 일반화할 수 있어야 한다.
-사전에 학습된 단순한 추상으로부터 좀 더 복잡하고 높은 수준의 추상을 구성할 수 있어야 한다.
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